Question

已知，如图，在△ABC中AB＝AC，点P是△ABC的中线AD上的任意一点（不与点A重合．将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ，使.∠PAQ=∠BAC，连接BP,CQ．

1.求证：BP=CQ

2.设直线BP与直线CQ相交于点E，∠BAC=α，∠BEC=β, ①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由． ②若点P在直线AD上移动（不与点A重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer

1.证明：由题意得：AP＝AQ,∠PAQ=∠BAC

所以∠PAQ-∠PAC=∠BAC=∠PAC,即∠BAP=∠CAQ                             2分

又AB=AC

所以∆ABP≅∆ACQ                                                     3分

所以BP=CQ

2.【解析】
①若点P在线段AD上移动（不与点Ａ重合），则α＝β，            5分

理由如下：由（1）知∆ABP≅∆ACQ

所以：∠ABP=∠ACQ                                                      6分

在∆ABO和∆ECO中，∠AOB=∠EOC,所以∠BAC=∠BEC

即α＝β                                                                8分

②若点P在直线AD 上移动（不与点A重合），则α与β之间的数量关系是相等或互补。10分

【解析】根据全等三角形的判定和性质求证