Question

如图，在矩形ABCD中，

1.请完成如下操作：①作的平分线AE交BC边于点E；②以AC边上一点Ｏ为圆心，过A、E两点作圆Ｏ（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

2.请在(1)的基础上，完成下列问题：

①判断直线BC与圆的位置关系，并说明理由；

②若圆与AC边的另一个交点为F，求线段CE、CF与劣弧EF所围成的图形面积．（结果保留根号和Π）

Answer

1.①作∠BAC的平分线ＡＥ交ＢＣ于点Ｅ；             1分

②作ＡＥ的垂直平分线交ＡＣ于点Ｏ,以Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作圆

2.①判断：直线ＢＣ与圆Ｏ相切。                             3分

理由：连接ＯＥ

因为：ＡＥ平分角ＥＡＢ

所以：∠EAC=∠EAB

因为：OA=OE,所以：∠OEA=∠OAE

所以：∠EAB=∠OEA  所以OE//AB                                5分

所以：∠OEC=∠B

因为：∠B=90度，

所以：∠OEC=90度，即：OE⊥BC

因为：OE是圆Ｏ的半径，所以：BC是圆Ｏ的切线                   6分

②如图，连结EF 设圆Ｏ的半径为r，则OC=3-r,

在Ｒt∆OEC中，∠OEC=90°,所以OC2=OE2+CE2,即（3-r）2=r2+()2        8分

所以：r＝1

所以：OC=2,∠OCE=30°, ∠EOC=60°

因为：三角形ＯＥＣ的面积为，扇形ＯＥＦ的面积为

9分

所以线段ＣＥ，ＣＦ与劣弧ＥＦ所围成的图形的面积为

【解析】（1）利用中垂线作图

（2）根据CE、CF与劣弧EF所围成的图形面积=三角形ＯＥＣ的面积-扇形ＯＥＦ的面积求解