Question

如图(1)，Rt ∆ABC中，垂足为D.AF平分∠CAB．交CD于点E，交CB于点F.

1.求证：CE=CF；

2.将图(1)中的∆ADE沿AB向右平移到∆A'D'E'的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示．试猜想：BE’与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer

1.证明：因为AF平分∠CAB，

所以∠CAF= ∠EAD，                                                      （1分）

因为：∠ACB=900

所以：∠CAF+∠CFA=900                                                                             （2分）

因为：CD⊥AB于D

所以：∠EAD+∠AED=900

所以：∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,

所以：∠CFA=∠CEF,

所以;CE=CF

2.猜想：BE’=CF                                                      (5分)

 证明：如图，过点E作EG⊥AC于点G

又AF平分∠CAB，ED⊥AB、ED⊥AB，EG⊥AC

所以：ED=EG，

由平移的性质可知：D’E’=DE,

所以：D’E’=GE

因为：∠ACB=900

所以：∠ACD+∠DCB=900

因为：CD⊥AB于点D

所以：∠B+∠DCB=900

所以：∠ACD=∠B

在Rt∆CEG与Rt∆BE’D’中

所以：∆CEG≅∆BE’D’                                                 (8分)

所以：CE=BE’

由（1）可知CE=CF。

所以：BE’=CF                                                       （9分）

【解析】（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，

（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．