Question

如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为(3，3)，AD为斜边上的高．抛物线y＝ax²＋2x与直线y＝x交于点O、C，点C的横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．

1.求OA所在直线的解析式

2.求a的值

3.当m≠3时，求S与m的函数关系式．

4.如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

Answer

1.设直线的解析式为.

点的坐标为（3，3）.

. 解得.

直线的解析式为

2.当时，.

点的坐标为(6，3)，

抛物线过点（6，3）

. 解得

3.根据题意，.

点的横坐标，轴交于点，

.当时，如图①，

＝.…………7分

当时，如图②，

4.或或.

提示：

如图③，时，，……………………………………11分

如图④，所在的直线为矩形的对称轴时，，…………………12分

如图⑤，与重合时，重叠部分为等腰直角三角形，；………13分

如图⑥，当点落在上时，. 所以.…………………14分

【解析】（1）已知了A点的坐标，即可求出正比例函数直线OA的解析式；

（2）根据C点的横坐标以及直线OC的解析式，可确定C点坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值；

（3）已知了A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于△OAB是等腰直角三角形，即可确定OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑：

①0＜m＜3时，P点位于线段OD上，此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差；

②m＞3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为△OAB、△OAD的面积差；

根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（4）若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴；

①由于直线OA的解析式为y=x，若设QM与OA的交点为H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN所在的直线；可得QR=RN，由此求出m的值；

②以QM、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；

③当P、D重合时，根据直线OC的解析式y=x知：RD=；此时R是AD的中点，由于RN∥x轴，且RN=DB，所以N点恰好位于AB上，RN是△ABD的中位线，此时重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时OP=OD=3，即m=3；当R在AB上时，根据直线OC的解析式可用m表示出R的纵坐标，即可得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；根据上述三种轴对称情况所得的m的值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围