Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形

1.如图1, E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.

求证：① △AEF≌△BEC；

② 四边形BCFD是平行四边形；

2.如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer

1.① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

 ∴ ∠ABC=60°.

在等边△ABD中，∠BAD=60°,  ∴ ∠BAD=∠ABC=60° .      

∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.                                

又∵ ∠AEF=∠BEC ,   ∴ △AEF≌△BEC                      3分

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点

∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC=60° .                          

又∵ △AEF≌△BEC,   ∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60°  ∴ FC∥BD      

又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                

 ∴ 四边形BCFD是平行四边形.

2.

【解析】① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

 ∴ ∠ABC=60°.

在等边△ABD中，∠BAD=60°,  ∴ ∠BAD=∠ABC=60° .      

∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.                                

又∵ ∠AEF=∠BEC ,   ∴ △AEF≌△BEC                      3分

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点

∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC=60° .                          

又∵ △AEF≌△BEC,   ∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60°  ∴ FC∥BD      

又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                

 ∴ 四边形BCFD是平行四边形.

（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°  ∴∠CAH=90°

             在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a

∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.

             设AH = x ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.           

在Rt△ABC中，AC2=(2a) 2-a2=3a2.

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=(2a-x) 2.

解得 x=a，即AH=a.

∴ HC=2a-x=2a-a=a