Question

点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，BD是⊙O的切线,且AB＝AD．

（1）求证：点A是DO的中点．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

Answer

（1）见解析（2）18

【解析】（1）连接OB，∵ BD是⊙O的切线，

∴∠OBD=90°，

∵AB=AD， 

∴∠D=∠ABD，

∴∠AOB=∠ABO，

∴AB=AO，

∵AB=AD.

∴AO=AD…………………5分

（2）∵AC是直径，∴∠ABF=90°，

∴cos∠BFA＝，…………………7分

∵∠E=∠C， ∠FAC=∠FBE，

∴△FAC∽△FBE，…………………9分

∴

∵

∴△FAC的面积为18. …………………11分

（1）连接OB，求得∠AOB=∠ABO，从而求得AO=AD

（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解