Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；

（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

Answer

（1）（2）存在，F点的坐标为（2，－3）（3）或（4），

【解析】【解析】
（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 

将A、B、C三点的坐标代入得          ………………… 2分

解得：                                      

所以这个二次函数的表达式为：          ………………… 3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         

设该表达式为：                     ………………… 2分

将C点的坐标代入得：                          

所以这个二次函数的表达式为：           …………………3分

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）             

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                             

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）                         ………………… 6分

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                             

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）                        ………………… 6分

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得         …………………8分

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得     ………………… 9分

∴圆的半径为或．    

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．       

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．    ………………… 12分

（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）根据以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，由平行四边形的性质以及二次函数的性质得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．

（3）分两种情况进行讨论：①当直线MN在x轴上方时；②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径，代入抛物线求解

（4）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．