Question

如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．

（1）求、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形A BCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC 的交点为点E，试在轴上找点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△    ABE相似。

Answer

(1) （2）y=(x-4)2+(3) (3,0)，(4,0)

【解析】(1)由---------1分，得---------2分

(2) ∵四边形ABCD为菱形,AB=5   ∴AD=5---------1分

 ∴y=m(x+1-5)2+n-m     =(x-4)2+---------2分

(3) ∵C(8,0)       ∴直线AC解析式为y=x+4     ∴E(4,2),CE=---------1分

∵AC=        ∴AE

∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似

∴F不在BC延长线上，故F在C的左侧-  -1分

ⅰ时，           ∴F(3,0) ---------1分

ⅱ时          ∴F(4,0) ---------1分      ∴F(4,0)或(3,0)

（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．

（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形一定为平行四边形，若四边形为菱形，那么必须满足AB=AD，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．

（3）易求得直线AC的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到E点的坐标，进而可求EC、AE的长；所以以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，可分两种情况考虑：①，②,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的CF长，进而可求得F点的坐标