Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．

1.求正比例函数和反比例函数的解析式；

2.把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

3.第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

4.在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为．

2.，一次函数的解析式为．

3.二次函数的解析式为

4.存在点，坐标为．

【解析】

（1）这个正比例函数的解析式为．······························································ （1分）

这个反比例函数的解析式为．······································································· （2分）

（2）因为点在的图象上，所以，则点．········ （3分）

设一次函数解析式为．

因为的图象是由平移得到的，所以，即．

又因为的图象过点，所以，解得，

一次函数的解析式为．········································································ （5分）

（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．

设二次函数的解析式为．

          解得

这个二次函数的解析式为．····················································· （8分）

（4）交轴于点，点的坐标是，

如图，

假设存在点，使．

四边形的顶点只能在轴上方，，

 ．

，．··········································································· （10分）

在二次函数的图象上，．

解得或．

当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，

点的坐标为．