Question

如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b

与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

1.OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；

2.是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．

Answer

1.OH＝1；k＝，b＝

2.存在。略

3.

【解析】此题是关于函数的综合题，有一定难度。

【解析】
(1)OH＝1；k＝，b＝；  （各1分）

(2)设存在实数a，是抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．

①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．

由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)

∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．

把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝

∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)

即y＝x2＋x＋               （2分）

②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．

∴E的坐标为(3.5，1.5)

把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．

∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋      （2分）

当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．          （1分）

当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．

(1分)

当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．

又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．

∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．    （2分）

当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，

同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．