Question

 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=，设BP=4，求QF的长．

Answer

1）EF=2（2）EF=BF，见解析（3）6

【解析】【解析】
（1）EF=2．                    3分

（2）EF=BF．                                 4分

证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ， 

∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，

∴ ∠BAP=∠EAQ ．               

在△ABP和△AEQ中， 

AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，

∴ △ABP≌△AEQ．

∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．

∴ ∠BEF．

又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，

∴EF=BF．                            8分

(3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．

     ∵ △ABE是等边三角形,

    ∴ BE=AB=．

由（2）得 30°，

       在Rt△BDF中， ．   

∴  BF=  ．  

∴  EF=2  ．   10分

∵  △ABP≌△AEQ ,

      ∴  QE=BP=4．    12分

∴  QF=QE＋EF＝4＋2＝6

（1）利用解直角三角形求解

（2）利用全等三角形求证

(3)过点F作FD⊥BE于点D，利用三角函数求出EF的长，再求证△ABP≌△AEQ，求得QE的长，从而求出QF的长