Question

如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点

（1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；

（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

Answer

(1)

(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）

（4）当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值，理由见解析

【解析】【解析】
(1)   

    6分

(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）. （10分）

（4）当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值.

当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．

由AP=t，可得AE= ．

由相似可得GH= ，

所以GC=．

于是，GE=AC-AE-GC= ．                             

即GE的长度不变．

当2＜t ≤ 4时，同理可证．

综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值     14分

（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；

（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；

（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；

（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．