Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

1.当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；

2.当DE=8时，求线段EF的长；

3.在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.连接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的长=；（4分）

2.①若D在第一象限，连接OD，

∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE==6，

∴AE=AO-OE=10-6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴，即，

∴EF=3；（4分）

②若D在第二象限，

连接OD， ∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，OE=6，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴，即，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

3.设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，

∴E1（，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，

∴CF∥AB，有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴，即，解得：x=，

∴E2（，0）；

②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，∴，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴，

而AD=2BE，

∴，

即，解得x1=，x2=＜0（舍去），

∴E3（，0）；

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

连接BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，∴，

而AD=2BE，∴，

∴，解得x1=（舍去），x2=＜0，

∵点E在x轴负半轴上，∴E4（，0），

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，

此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．（4分）

【解析】（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根据弧长公式求解；

（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标