Question

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为（3,0）顶点P的坐标为（1，-4），以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C.

1.求抛物线的解析式

2.请通过计算判断抛物线是否经过点C；

3.设M，N 分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标.

Answer

1.设抛物线的解析式为  把h=1，k=-4，x=3，y=0带入，解得a=1……1分   ∴抛物线的解析式为：  即：……2分

2.作抛物线的对称轴     把y=0代入    解得 x1=-1，x2=3

∴A 点坐标为（-1，0） ∴AB=|3-(-1)|=4   ∴OD=2-1=1  ∴D点坐标为（1，0）……1分

而抛物线的对称轴为直线x=1    ∴点D在直线x=1上

过点C作CE⊥PD,CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结DC  

∵PC是⊙D的切线   ∴PC⊥DC

在Rt△PCD中    ∵cos∠PDC==    ∴∠PDC=60°∴DE=1，CE=

∴C点坐标为（，－1）……2分

把x=带入得：y=-1 ……1分   ∴点C在抛物线上……1分

3.N（0，），N（，0）……4分（每个2分）

【解析】（1）把有关数据代入函数解析式，待定系数法即可求得抛物线解析式。

        （2）根据三角函数计算出点C坐标为（，－1），代入已求出的解析式，即可判断点是否在抛物线上。