Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB2＝∠PCB．

1.求证：PC是⊙O的切线

2.求证：BC＝AB；

3.点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN ·MC的值．

Answer

1.【解析】
（1）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO

又∵∠COB＝2∠A, ∴∠COB＝2∠PCB，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．(1分)

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB＝90°

∴∠PCB+∠OCB＝90°（２分），

即OC⊥CP，

而OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．  （3分）

2.∵AC＝PC,∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P，（４分）

又∵∠COB＝∠A+∠ACO, ∠CBO＝∠P+∠PCB

∴∠COB＝∠CBO（５分）, ∴BC＝OC, ∴BC＝AB（6分）

3.8

（3）8

【解析】

（3）连接MA、MB

        点M是AB的中点，AM＝BM，

∴∠ACM＝∠BCM（7分）

而∠ACM＝∠ABM, ∴∠BCM＝∠ABM,而∠BMN＝∠BMC

∴△MBN～△MCB,

∴MN·MC＝BM.BM（8分）

又∵AB是⊙O的直径，AM＝BM

∴∠AMB＝90°，AM＝BM

∵AB＝4,BM＝（9分）

∴MN·MC＝BM2＝8（10分）