Question

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

1.如图1，当点D在边BC上时，

①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；

2.如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；

3.如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

Answer

1.①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°．

∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．

∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．

②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．

2.结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：

∠AFC=∠ACB∠DAC（或这个等式的正确变式）．

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC= 60°．

∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．

∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．

又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB－∠DAC

3.补全图形如下图：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．

【解析】（1）此题只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；

（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；

（3）此题只需补全图形后由图形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．