Question

如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP＝PE．过E作EF∥CD交射线BD于F．

1.若CB＝6，PB＝2，则EF＝        ；DF＝       ；

2.请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明；

3.如图2，点P在线段BA的延长线上，当tan∠BPC＝        时，四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为．

Answer

1.EF＝6；DF＝

2.BF＋2DG＝CD．

理由如下：如图⑴，连接AE，AC．

∵△EPC为等腰Rt△；四边形ABCD为正方形，

∴．

∠ECP＝∠ACB＝45°，

∴∠ECA＝∠PCB．

∴△EAC∽△PCB．   ………………………4分

∴∠EAC＝∠PBC＝90°．

∵∠BAC＝∠ABD＝45°，

∴∠EAB＋∠ABF＝180°．

∴EA∥BF．

又AB∥EF，

∴四边形EABF为平行四边形．………………5分

∴EF＝AB＝CD．

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

∴△EFG∽△CDG ．

∴．………………………………………………………6分

∴DF＝2GF＝2DG．……………………………………………………7分

∴BF＋2DG＝BD＝CD．……………………………………………8分

3.tan∠BPC＝或．…………………………………………………10分

【解析】本题综合了正方形、平行四边形、三角形相似、角的正切值的知识，综合性较强。