Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

1.求∠ACB的大小

2.写出A，B两点的坐标

3.由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；

4.在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.120°

2.A（1-  ，0），B（1+ ，0）

3.y=-x2+2x+2

4.点D的坐标是（0，2）

【解析】【解析】
（1）作CH⊥x轴于H，

∵CH=1，半径CB=2，

∴∠BCH=60°，

即∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2，

∴HB=  ，

∴A的坐标是（1-  ，0），B的坐标是（1+ ，0）．

（3）设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+3，

把点B（1+  ，0）代入上式，解得：a=-1，

∴y=-1（x-1）2+3=-x2+2x+2，

即抛物线的解析式是y=-x2+2x+2．

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，

则四边形OCPD是平行四边形，

∴PC∥OD，PC=OD，

∵PC∥y轴，

∴点D在y轴上，

∵PC=2，

∴OD=2，

即D（0，2），

又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，

∴点D在抛物线上，

∴存在D点，使线段OP与CD互相平分，且点D的坐标是（0，2）．