Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE.

1.试判断DE与⊙O的位置关系并证明

2.求证：BC＝2CD·OE；

3.若tanC=,DE=2，求AD的长

Answer

1.DE与⊙O相切.……………………………………1分

证明：连接OD，BD。………………………………2分

∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.

∵E是BC的中点，∴DE=BE=CE.  ∴∠EBD=∠EDB.

∵OD=OB，   ∴∠OBD=∠ODB.

∴∠EDO=∠EBO=90°.  ∴DE与⊙O相切.………………4分

2.∵OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE……………5分

∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分

∴= .   即BC2=CD·AC.

∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分

3.

【解析】

（3）∵tanC=，∴可设BD=，CD=2x.…………8分

在Rt△BCD中，.解之，得x=±(负值舍去)

∴BD==……………………………………9分

∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分