Question

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC.

1.求过A、F、C三点的抛物线解析式；

2.设（1）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与轴相交于另外一点E，若点M是轴上的点，N是轴上的点，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标

3.若动点P以每秒个单位长度的速度从C点出发沿CB 向终点B运动，同时动点Q从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AO运动，当P运动到B点时，P，Q同时停止运动.当点P运动时间t(秒)为何值时，以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？

Answer

1.

2.M1（，0），N1（0，1）；M2（，0），N2（0，1）

3.t=或

【解析】（1）∵OA=，OC=1,∴tan∠OAC=.

∴∠OAC=30°    ∠ACF=∠ACO=60°……………………1分

过P作PE⊥OA于E，交CB于G，则FG⊥CD.

∠GCF=30°,    GF=CF=OC=.

CF= .      ∴P（，）…………………………2分

设过 A、B、C三点抛物线解析式为.∴c=1

∴……………………………………3分

解之，得   ∴.………………4分

（2）由，得=,=.

∴E(,0)……………………………………5分

由，得=0, =.∴D(,1).………………6分

①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M1（，0），此时N1（0，1）…7分

当M在E点右侧时，OM2=.∴M2（，0），此时N2（0，1）……8分

②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M3（，0），N3（0，-1）……9分

（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有

CQ=OP或OC2=CQ·OP.

当P、Q在y轴同侧时：

由，得t=.………………………………10分

由，得  .

△=4-8=-4＜0，故无解.

当P、Q在y轴异侧时：

由，得t=3＞，不合题意，舍去………………………11分

由，得  .

＜0舍去，     ∴t=或……………………12分