Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.

1.求证：直线AE是⊙O的切线

2.若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径.

Answer

1.证明：连结BD.   

∵ AD是⊙O的直径，

∴∠ABD =90°.

∴∠1+∠D =90°.

∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，

∴∠D=∠BAE.   

∴∠1+∠BAE=90°.

即 ∠DAE=90°.

∵AD是⊙O的直径，

∴直线AE是⊙O的切线. 

2.解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°.

∵ EB=AB,

∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 

∵∠BFE=90°, ,

 ∴=15.  

 ∴ AB=15.          

 由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 

 ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90°,

 ∴  .     

 设BD=4k，则AD＝5k.

 在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k,

可求得k=5.     

∴

∴⊙O的半径为.  

【解析】（1）证得∠DAE=90°即可说明直线AE是⊙O的切线.；

       （2）过点B作BF⊥AE构建直角三角形，利用三角函数和勾股定理进行计算。