Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C（0，4），其中x₁，x₂是方程x ²－2x－8＝0的两个根．

1.求这条抛物线的解析式；

2.点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

3.探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.∵x2-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0 .∴x1=4,x2=-2.

       ∴A(4,0) ,B(-2,0)

又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，

∴  ∴

     ∴所求抛物线的解析式为y＝－x2 ＋x＋4

2.设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.

        ∵点B坐标为(-2，0)，点A坐标(4,0)，

        ∴AB=6， BP=m+2.

        ∵PE∥AC，

        ∴△BPE∽△BAC.

        ∴.

        ∴.∴EG＝

        ∴S△CPE= S△CBP- S△EBP=BP•CO－BP•EG

        ∴(m＋2)（4－）.＝－m 2 ＋m＋

        ∴ (m－1) 2 ＋3

        又∵-2≤m≤4，

        ∴当m=1时，S△CPE有最大值3.

此时P点的坐标为(1，0).

3.存在Q点，其坐标为Q1(1，1)，Q2 (1，)，Q3. (1，－)，

        Q4. (1，4＋)，Q5. (1，4－)．                              5分

【解析】（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．

（3）本题要分三种情况进行讨论：

①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．

②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．

③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．