Question

已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.

1.判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论

2.若DE的长为2，cosB＝，求⊙O的半径.

Answer

1.如图，连接CD，则CD⊥AB，

又∵AC＝BC，

∴AD＝BD , 即点D是AB的中点．…………………… 2分

DE是⊙O的切线．

理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC.

又∵DE⊥AC， 

∴DE⊥DO，

又∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．…………… 3分

2.∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，

∴cos∠B＝cos∠A＝.

∵cos∠A＝＝  又DE=

∴AD＝3.  ∴BD＝AD=3

∵cos∠B＝＝，

∴BC＝9，

∴半径为…………… 3分

【解析】（1）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；

(2)利用勾股定理和直角三角形的角边关系推出园的直径，然后得出园的半径。