Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．

1.如果∠A=90°求证：DE=DF

2.如果DF//AB，则结论：“四边形AEDF为直角梯形”是否正确，若正确，请证明；若不正确，请画出草图举反例

Answer

1.连接AD

∵AB=AC，D是BC的中点，∠A=90°

∴AD=DC, ∠BAD=∠C,

∵∠ADC=90°, ∠EDF=90°

∴∠EDA=∠FDC

∴△ADE≌△CDF 得到DE=DF………………………………4分

2.结论不正确. 图略    ………………………………1分

反例如下：

 取时，四边形ADEF为矩形，不是直角梯形。

DF//AB,

∴∠AED=90°            

当时，四边形ADEF为矩形，不是直角梯形。

∴结论不正确………………………………4分

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，中线AD平分∠BAC，并且AD=BC，则∠BAD=∠C，AD=DC，又∠EDA=∠CDF，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．

(2)举出反例。