Question

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。

1.请直接写出PN的长            ；（用含的代数式表示）

2.若0秒≤≤3秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，并求S的最大值。

3.若0秒≤≤3秒，△MPA能否与△PCN相似？若能，试求出相似时的对应值；若不能，试说明理由。

Answer

1.；

2.延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，

则。

依题意，可得：

∵0≤≤1.5

∴当时，S有最大值 ，S最大值＝。…………………4分

3.能相似

共有两种情况，以下分类说明：

①   …………………2分

②3或…………………2分

综上所述，当，或，或时，△MPA与△NPA相似

【解析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．

（2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．

（3）本题要分三种情况：

①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．

②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．

③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．