Question

  如图：在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与轴相交于B、C两点，与轴相交于D、E两点.

1.若抛物线经过C、D两点，求此抛物线的解析式，并判断点B是否在这条抛物线上？（5分）

2.过点E的直线交轴于F（，0），求此直线的解析式，这条直线是⊙A的切线吗？请说明理由；（5分）

3.探索：是否能在（1）中的抛物线上找到一点Q，使直线BQ与轴正方向所夹锐角的正切值等于？，若能，请直接写出Q点坐标；若不能，请说明理由. (4分)

Answer

1.连接AE（1分）

依题意：OD=OE=4 ∴C、D两点坐标为：C（8，0），D（0，－4）（2分）

把C、D两点坐标代入中，

得：   解得：

∴所求二次函数为： （4分）

∵B点坐标为（－2，0）

∴当时， ∴点B在这条抛物线上（5分）

2.依题意：m =4 ∴ 

把点F（，0）代入上式得：

∴所求一次函数为：（7分）

在Rt△OEF中，（8分）

在△AEF中，AF=3+    ∴ 

∴ （9分）

∴∠AEF=90º  ∴EF是⊙O的切线（10分）

3.能找到这样的点Q，

其坐标分别为：）（12分） 和 （）（14分）

【解析】（1）据圆的圆心坐标A（3，0），以及圆的半径，可求出C点的坐标C（8，0），B点的坐标B（-2，0），然后由勾股定理，求出D点的坐标（0，-4），将C，D坐标代入抛物线的解析式中，即可求得抛物线的解析式．将B点代入，即可判断是否在抛物线上；

（2）利用两点式求出直线的解析式，然后再利用勾股定理证出∠AEF=90º，从而得出结论；

（3）利用直线BQ与轴正方向所夹锐角的正切值等于，得出BQ直线的k值为±，根据点斜式求出直线的解析式，再求它与圆的交点。