Question

如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连结BF。

1.求证：△ADE≌△FCE；

2.若AC=BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论。

Answer

1.证明：（1）∵CF∥AB    ∴∠EAD=∠EFC  ……………………………… 2分

  又∵∠AED=∠FEC ，DE=CE   …………………………………………   3分

  ∴△ADE≌△FCE（AAS）  ……………………………………………  4分

2.四边形BDCF是矩形  ……………………………………………  5分

由（1）得 CF=AD

又∵AD=BD，

∴CF=DB              ………………………………………………  6分

∵CF∥AB    

∴四边形BDCF是平行四边形              ………………………  8分

∵AC=BC     

∴CD⊥AB                ……………………………………………  9分

∴平行四边形BDCF是矩形   ………………………………………… 10分

【解析】（1）先由CF∥AB，可证∠EAD=∠EFC，而∠AED=∠FEC ，DE=CE，利用AAS可证△△ADE≌△FCE，

（2）四边形BDCF是矩形．先证得四边形BDCF是平行四边形，又CB=AC，AD=DB，利用等腰三角形三线合一定理，可知CD⊥AB，即∠ADC=90°，那么可证四边形BDCF是矩形．