Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴交于点D，点C的坐标为（-3，4）。

1.点A的坐标为  ▲   ；

2.求过点A、O、C的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；

3.在直线AB上是否存在点P，使得以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

1.∵OABC为菱形，

∴BC∥OA，OC=OA=BC，

∴OD⊥BC，

∵C（-3，4），

∴CD=3，OD=4，

∴OC==5，

∴A（5，0），

2.设抛物线的解析式为，

它经过点A（5，0）和点C（-3，4），则     …………………… 4分

解得   ∴    ……………………………………… 6分

∵，∴线的顶点坐标为。…………………………  8分

3.因为∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，所以…………  9分

①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时,△APO∽△COD。可得

，即，PO=，此时P（0，）…………………… 11分

②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，OP=OD=4。

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，由可得PM=，OM=。

此时P（）………………………………………………………………  13分

综上所述，存在点符合要求的点P，它的坐标为（0，）或（）…14分

【解析】（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标，

（2）设抛物线的解析式为，把点A（5，0）和点C（-3，4）代入列方程组求解

（3）分两种情况进行讨论，①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时,△APO∽△COD。②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，OP=OD=4。