Question

如图，抛物线过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连结CO、AD.

1.求抛物线的解析式及点C的坐标

2.将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后                                      再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

3.设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

1.；C(-1,2)

2.点E落在抛物线上. 理由如下：

由旋转、轴对称的性质知：

点E点的坐标为（2，-1）

当时，

点E落在抛物线上.    

3.存在点P（a，0）. 如上图记S梯形CQPO= S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）

∴CQ = 3a－5，P O= a，.

下面分两种情形：①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；

∴4a－75= 2，解得；

②当S1∶S2 = 3∶1时，；   ∴4a－75= 6，解得；

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）   

【解析】（1）根据O、D两点的坐标求出抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质求出C点的坐标；

（2）利用旋转、轴对称的性质求出E点的坐标，从而得出点E在抛物线上；

（3）分二种情况讨论：①梯形COPQ面积:梯形DAPQ面积=1：3，②梯形COPQ面积:梯形DAPQ面积=3：1.