Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

1.当∠AOB=30°时，求弧AB的长度

2.当DE=8时，求线段EF的长；

3.在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.连接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。

∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。

∴弧AB的长=。

2.连接OD，

∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。

又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。

在Rt△ODE中，OE=。

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。

∴，即，∴EF=3。

3.设OE=，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）。

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，

∴CF∥AB，有CF=AB。

∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E2（，0）。

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。

连接BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。

∴CF∥BE。∴。

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，

而AD=2BE，∴。即，

解得

∵＜0，舍去，∴E3（，0）。

∵＜0，舍去，

又∵点E在轴负半轴上，∴E4（，0）。

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：

E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。

【解析】（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解；

（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．