Question

已知抛物线，

（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

【解析】（1）通过，，求出抛物线的解析式，从而求得与轴公共点的坐标

（2）从当时和当时分别进行分析，求的取值范围

（3）通过关于的一元二次方程的判别式，确定抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方

Answer

解（1）当，时，抛物线为

方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．  ············· 2分

（2）当时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程，判别式≥0，有≤． ·········· 3分

①当时，由方程，解得．

此时抛物线为与轴只有一个公共点．········· 4分

②当时，

时，，

时，．

由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有  即

解得．

综上，或．    ······················· 6分

（3）对于二次函数，

由已知时，；时，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴．  ·······························  7分

∵关于的一元二次方程的判别式

，  

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．········ 8分

又该抛物线的对称轴，

由，，，

得，

∴．

又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． ············ 11分