Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论中正确的结论有（     ）个

①EF是△ABC的中位线．

②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；

③设OD=m，AE+AF=2n，则S_△AEF=mn；

④；

（A）1个        （B）2个       （C）3个      （D）4个

Answer

C

【解析】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴EB=EO，FO=FC，

∴EF=EO+FO=BE+CF，

∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．

∴其中正确的结论是①③④．故选C．