Question

如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

1.若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；

2.连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，

试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer

1.连接OD. 设⊙O的半径为r.

         ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.

         ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.

∴ = ，即 = .  解得r = ，     ∴⊙O的半径为.

2.四边形OFDE是菱形. 

        ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形.   

∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.

∴四边形OFDE是平行四边形.

   ∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.

【解析】

1.连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则，从而求得r；

2.由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B=∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形．