Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图像顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．

1.求这个二次函数的解析式；

2.若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；Com]

3.如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

Answer

1.由OC=OB=3，知C

连接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO=，故A

设所求二次函数的表达式为

将C代入得，解得，

∴这个二次函数的表达式为。

2.①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，

∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴上，

∴N（R+1，R）代入中得

，

解得 （舍）

②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为，由①可知N，代入抛物线方程可得 （舍）。

3.

【解析】

1.根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；

2.根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；（需注意的是圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，需要分类讨论）

3.易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．