Question

如图，直线y=3x+3与 x轴、y轴分别交于点B、A，O为原点，ΔAOB绕点O顺时针方向旋转90^o后得到ΔCOD。

1.求A、B、C、D四点的坐标

2.求经过A、B、C、三点的抛物线的解析式

3.设E为抛物线的顶点，连接DE，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

1.∴A（0，3）    B（-1，0）C（3，0）    D（0，1）

2.y=-x2+2x+3

3.存在点P，当P为（，2）时，以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似。

【解析】【解析】
（1）在y=3x+3中，令y=0得x=-1，令x=0得y=3

       ∴A（0，3）    B（-1，0）

由旋转的性质可知OD=OB=1  OC=OA=3

       ∴C（3，0）    D（0，1）…………………………  3分

（2）设抛物线的解析式为y=a(x-x1)( x-x2) 

       ∵点B（-1，0）    C（3，0）

       ∴y=a（x+1）（x-3）

把A（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）得a=-1

        ∴ y=-（x+1）（x-3）

        即y=-x2+2x+3 ………………………… 6分

（3）   ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4

         ∴E（1，4）…………………………  7分

         作EF⊥y轴于点F，则EF=1   OF=4

         ∴ FD=4-1=3

         ∵tan∠ADE=    tan∠DCO=

         ∴∠ADE=∠DCO

         ∵∠ODC+∠OCD=90o

         ∴∠ODC+∠ADE=90 o

         ∴∠CDE=90 o…………………………8分

         ∴∠EDC=∠DOC=90 o

①当时，ΔODC∽ΔDPC

∵

∴      ∴…………………9分

过点P作PG⊥y轴于G

∵tan∠EDF=

∴设PG=X   DG=3x

∵DG2+PG2=DP2

∴       ∴  （舍去负值）

∴      ∴OE=1+1=2

∴P（，2）………………………… 10分

当时，ΔODC∽ΔDCP

∴         ∴DP=

∵   所以不合题意舍去……11分

∴存在点P，当P为（，2）时，以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似。