Question

已知抛物线经过及原点．

1.求抛物线的解析式．

2.过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形（如图）．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

3.如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？

Answer

1.由已知可求得：抛物线的解析式为：

2.存在．设点的坐标为，则，要使，则有，即，解之得，．

当时，，即为点，所以得

要使，则有，即

解之得，，当时，即为点，

当时，，所以得．故存在两个点使得与相似．点的坐标为．（10分）

3.在中，因为．所以．

当点的坐标为时，．

所以．

因此，都是直角三角形．

又在中，因为．所以．

即有．

所以，又因为

，所以．（14分）

【解析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可．

（2）可根据抛物线的解析式设出Q点的坐标，要使△OPC与△PQB相似，可分两种情况：

①△OCP∽△PBQ，此时∠COP=∠BPQ，，用Q点的坐标表示出BP、BQ的长，根据线段的比例关系式即可求出Q点的坐标．

②△OCP∽△QPB，此时∠CPO=∠BPQ，，方法同①

（3）根据（2）得出的Q点的坐标进行判断即可，注意运用正方形的性质和一些特殊角．