Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

1.求抛物线的解析式及点B坐标；

2.若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

3.试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

Answer

1.抛物线的解析式是：           

2.ME的最大值＝

3.不存在.

【解析】.【解析】
(1) 当y＝0时，    ∴A(－1, 0)

当x＝0时，      ∴  C(0,－3)        

∴    ∴

抛物线的解析式是：                          

   当y＝0时，

解得： x1＝－1  x2＝3  ∴ B(3, 0)  

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直线BC的解析式是：  

     设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）

    ∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=- x2+3x =          

      ∴当 时，ME的最大值＝                     

（3）答：不存在.                                      

由（2）知 ME 取最大值时ME＝  ，E，M

 ∴MF＝，BF=OB-OF=. 

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1 或 P2          

当P1 时，由（1）知                       

∴P1不在抛物线上.                                     

当P2 时，由（1）知                        

∴P1不在抛物线上.                                       

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.