Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

1.如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；

2.如图2，连接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面积为S，求△BCB₁的面积

3.如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．求EP的长度最大时∠的度数，并求出此时EP的最大值．

Answer

1.易求得, , 因此得证.

2.易证得∽,且相似比为，得△BCB1的面积为3s.

3.120°，  

【解析】本试题主要考查了三角形的相似的性质的运用，和平行的性质的灵活使用。第一问中当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．结合相似得到角相等，从而△A1CD是等边三角形

第二问中，连接AA1、BB1，若△ACA1的面积为S，求△BCB1的面积，结合∠ACB＝90°，

∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

。可得。第三问设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP，利用EP的长度最大值得到。