Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

1.求CD的长及∠1的度数；

2.设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

3.当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

Answer

1.CD=   ∠1=30°

2.Y

 当时，y的值最大，y的最大值为

3.①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-

【解析】

（1）   过点A作AH⊥BC于点H                 （1分）

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°

∴AH=AB·=

∵四边形ABCD为直角梯形

∴四边形AHCD为矩形

∴CD=AH=                          （2分）

∵ 

∴∠CAD=30°

∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30°                         （4分）

    （2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE  

∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°

∴∠GEC=60°

因为△CEG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD  得 

∴x=                              （5分）

当时

∵＞0，对称轴为y轴

∴当，y随x的增大而增大

∴当x=时，=             （6分）

当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x

∴EC=，NE=2

∴NG=GE－NE==

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°

∴MG==

                （7分）

∵，对称轴为直线

∴当＜x≤时，y有最大值

∴当时，=                （8分）

综合两种情形：由于＜ 

∴ 当时，y的值最大，y的最大值为                 （9分）

(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：

   ①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-                                              (12分)