Question

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为

1. 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

2. 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；

3.点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.

                                         

Answer

1.由题意，得：…

          解得：

所以，所求二次函数的解析式为：

    顶点D的坐标为（-1，4）.

2.易求四边形ACDB的面积为9.

     可得直线BD的解析式为y=2x+6

   设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.

①  当时，

      易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.

设M 点坐标（x，-x），

∴ 

②   当时，同理可得M点坐标．

∴ M 点坐标为（-1，4）

3.连接，设P点的坐标为，

因为点P在抛物线上，所以，

所以

因为，所以当时，. △的面积有最大值 

所以当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为

【解析】

1.将C、B两点的坐标代入求出二次函数的解析式，然后求出顶点的坐标；

2.先求出四边形ACDB的面积，然后讨论△OBE面积为3或6进的M点坐标；

3.设P点的坐标为（m,n）,然后求出n与m的关系，再求出△CPB的面积，然后根据二次函数的性质求出点P的坐标和△CPB的面积最大值。