Question

已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）

1.如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；

2.在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由．

Answer

1.FG∥CE．

理由：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，

由题意得，∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°

∴∠GEC=90°，

∴∠G=∠GEC，

∴FG∥CE；

2.GH=EH，

延长GH交CE于点M，如下图所示：

由（1）得，FG∥CE，

∴∠GFH=∠MCH，

∵H为CF的中点，

∴FH=CH，

又∵∠GHF=∠MHC，

∴△GFH≌△MHC，

∴GH=HM=GM，

∵∠GEC=90°，

∴EH=GM，

∴GH=EH．

【解析】

1.根据矩形的性质以及轴对称的性质可以得到∠G=∠GEC=90°，根据内错角相等，即可证明两条直线平行；

2.延长GH交CE于点M，结合（1）中的结论证明△GFH≌△MHC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明结论．