Question

 已知，点P(x，y)在第一象限，且x+y=12，点A(10，0)在x轴上，设△OPA的面积 为S．

1.求S关于x 的关系式，并确定x的取值范围；

2.当△OPA为直角三角形时，求P点的坐标．

                    

Answer

1.由 x+y=12得，.  

  即P（x，y）在的函数图象上，且在第一象限.

  过点P作PB⊥轴，垂足为B.

  则 S△OPA===.

  且0＜＜12 ；

2.分情况讨论：

  ①若O为直角顶点，则点P在轴上，不合题意舍去；

       ②若A为直角顶点，则PA轴，所以点P的横坐标为10，代入 中，

         得，所以点P坐标（10, 2）；

  ③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB .

      ∴ .   ∴PB 2= OB·OA .

      ∴.

      解得.

      ∴点P坐标（8, 4）或（9,3）

    所以当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10, 2）或（8, 4）或（9, 3）.

【解析】此题注意第（2）分情况讨论，三个点都有可能是直角顶点，根据三角形相似，找出边和边之间的关系，列出方程求解。