Question

如图，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O交AB于C.

1.判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

2.连接CD，若CD=5，求AB的长.

Answer

1.直线BD与⊙O相切.

理由如下：如图，连接OD，

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，

∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，

     即OD⊥BD，     ∴直线BD与⊙O相切.

2.由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，

∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，

又∵OC=OD，

∴△DOC是等边三角形，

∴OA=OD=CD=5.

又∵∠B=30°，∠ODB=90°，

∴OB=2OD=10.    ∴AB=OA+OB=5+10=15.

【解析】证出OD⊥BD，即可证明直线BD与⊙O相切。直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。