Question

已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）

1.求该抛物线的解析式；

2.点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE//AC，交BC于点E，连接CQ，设△CQE的面积为S，Q(m，0)，试求S与m之间的函数关系式（写出自变量m的取值范围）；

3.在（2）的条件下，当△CQE的面积最大时，求点E的坐标.

4.若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0). 问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

1.

 2.设点Q坐标为，过点作EG⊥x轴于G，由得，

    ∴点B的坐标为，点A的坐标为

∴AB=6   BQ=m＋2  ∵QE//AC  ∴△BQE∽△BAC    又△BEG∽△BCO

∴   即    ∴

∴

即

3.由（2）知

又    ∴当时   S最大

此时   BQ=QA    又QE//CA

∴BE=EC   ∴点E为BC的中点，∴

4.存在，在△ODF中

①若DO=DF   ∵A(4,0)  D(2,0)  ∴AD=OD=DF=2

又在Rt△AOC中，OA=OC=4   ∴∠OAC=45°∴∠DFA=∠OAC=45°

∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为（2, 2）

由得  ，此时点P的坐标为：

或

②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得

   ∴AM=3   ∴在等腰直角△AMF中

MF=AM=3   ∴F(1, 3)   由

得     此时，点P的坐标为或

③若OD=OF  ∵OA=OC=4   且∠AOC=90°  ∴AC=4

∴点O到AC的距离为，而OF=OD=2∠，此时，不存在这样的直线l，

使得△ODF是等腰三角形

     综上，存在满足条件的点或或或

【解析】

1.根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；

2.根据△ABC与△ABM的面积相等，得出M的纵坐标为：±4，进而得出x的值即可；

3.利用相似三角形的性质得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，进而求出即可；

4.利用图象以及等腰三角形的性质假设若DO=DF时以及当FO=FD和当DF=OD时分别得出F点的坐标，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出P点坐标．