Question

如图19，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．

1.求证：AC平分∠DAB

2.过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

3.若CD＝4，AC＝4，求垂线段OE的长．

Answer

1.连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。

∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。 ………………………3分

2.过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：…………4分

3.在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4，∴AD＝＝＝8 。                  ∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2 。  ∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。

∴＝。∴OE＝×CD＝×4＝。即垂线段OE的长为 。…………8分

【解析】（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线性质得到OC与CD垂直，又AD与CD垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行，由平行得一对内错角相等，又因为两半径OA与OC相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC为∠DAB的平分线；

（2）以O为圆心，以大于O到AC的距离为半径画弧，与AC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点O确定一条直线，即为所求的直线，如图所示；

（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理，由OE与AC 垂直，得到E为AC中点，求出AE的长，由（1）推出的角平分线得一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，由相似得比例即可求出OE的长．