Question

如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

1.求点B的坐标

2.求证：四边形ABCE是平行四边形；

3.如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer

1.∵在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8，

  ∴OA＝4，AB＝4。∴点B的坐标为（4，4）。………2分

2.∵∠OAB＝90º，∴AB⊥轴，∴AB∥EC。 又∵△OBC是等边三角形，∴OC＝OB＝8。

又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，

∴AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD＝30º，∴OE＝4。∴EC＝OC－OE＝4。

∴AB＝EC。∴四边形ABCE是平行四边形。……………………………………………………6分

3.设OG＝，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－。

在Rt△OAG中，由勾股定理，得，即，

解得，。∴OG的长为1。………………………………………………………………10分

【解析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；

（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4 ）2，解此方程即可求得OG的长．