Question

如图23，已知抛物线与轴相交于A、B两点，其对称轴为直线，且与x轴交于点D，AO=1．

1.填空：=_______。=_______，点B的坐标为(_______，_______)：

2.若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交轴于点F．求FC的长；

3.探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

1.，，5，0。

2.由（1）得抛物线的解析式为，化为顶点式为。

∴C（2，4）。

∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），……………………………..3分

设直线BC的表达式为，则，解得。

∴直线BC的表达式为。……………………………………………………………5分

设直线EF的表达式为，

∵EF为BC的中垂线，∴EF⊥BC。∴由相似可得，即直线EF的表达式为。

把E（3.5，2）代入得 ，解得。

∴直线EF的表达式为 。……………………………………7分

在 中，令=0，得，解得。∴F（ ，0）。

∴FC=FB=5－。答：FC的长是。……………………………8分

3.存在。作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。

设P（2，），则P到轴的距离等于P到直线BC的距离，都是||。

∵点C的坐标是（2，4），点B的坐标是（5，0），

∴CD=4，DB=5－2=3。∴BC= 。

∴sin∠BCD=。……………………………………………………………………10分

当点P在轴上方时，得，解得。点P的坐标是（2，）。

当点P在轴下方时，得，解得。点P的坐标是（2，－6）。

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，

点P的坐标是（2，），（2，－6 ）。………………………………………………………12分

【解析】（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；

（2）求出C（2，4）求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式为y=-x+，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据EF为BC的中垂线求出k=和b=-推出直线EF的表达式为y=x-，令y=0，得x=即可求出答案；

（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，a），根据抛物线解析式求出顶点C的坐标与点B的坐标，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解