Question

已知：关于的一元一次方程①的根为正实数，一元二次方程有一实数根

1.若方程①的根为正整数，求整数的值

2.求代数式的值

3.求证：关于的一元二次方程 ②必有两个不相等的实数根。

Answer

1.【解析】
由，得。

依题意。∵ ∴∴。    .……..1分

∵方程的根为正整数，为整数，∴或。

∴       .……..2分

2.【解析】
依题意，方程有一实根，

    ∴    

∴

＝ ...3分

3.证明：方程②的判别式为 Δ＝.由得。

证法一：

（i）若， 则Δ＝。 此时方程②有两个不相等的实数根。.……..4分

（ii）若， 由（2）知， 故

Δ＝        .……..5分

∵ 方程的根为正实数， ∴ 方程的根为正实数。

得 。              .……..6分

∴   ∵

∴Δ＝。

此时方程②有两个不相等的实数根。  .……..7分

【解析】（1）根据一元一次方程及根的条件，求k的值．

（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值．

（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x有两不相等的实数根