Question

如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA    的延长线的垂线EF，垂足为F。

（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；

（2）求AF的长。

Answer

（1）AF=EF；

理由如下：连接AE，

∵△DBE是正三角形，

∴EB=ED．

∵AD=AB，AE=AE，

∴△ABE≌△ADE．

∴∠BEA=∠DEA=×60°=30°．

∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，

∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°．

∵EF⊥AD，

∴△EFA是等腰直角三角形．

∴EF=AF．

（2）设AF=x，

∵AD=2，BD=2=ED，FD=2+x，

在Rt△EFD中，

由勾股定理得EF2+FD2=ED2

即x2+（2+x）2=（2）2

∴x=-1（x=--1舍去），∴AF=-1．

【解析】（1）连接AE，首先证明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°，再根据题意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，又知EF⊥AD，故可得AF=EF，

（2）设AF=x，由勾股定理得EF2+FD2=ED2，列出等量关系式，解得x．