Question

P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A。

 （1）不管滚动多长时间，求证：四边形PQRS为正方形；

 （2）连结对角线AC、BD、PR、SQ，你发现四条对角线有何关系？

 （3）根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边问c，你能否根据面积推导出勾股定理？

Answer

（1）见解析（2）四条对角线相交于一点，且互相平分（3）能拼成一个正方形，见解析

【解析】（1）四个动点，P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样速度向B、C、D、A移动可得AP=BQ=CF=DS，PB=QC=FD=SA．

可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，

得PQ=QF=FS=SP．

∠SPA=∠PQB．

又∠PQB+∠QPB=90°，

所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．

所以PQEF为正方形．（3分）

（2）四条对角线相交于一点，且互相平分．（1分）

（3）能拼成一个正方形．用面积的方法来证明

直角边分别是a，b．斜边是c，

整个大正方形的面积应该是（a+b）2

而一个一个进行分解计算，4个小三角形的面积是4×ab=2ab．

中间的正方形面积是c2

则（a+b）2=2ab+c2，分解开就可以得到a2+b2=c2．（4分）

（1）可先证明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再证∠FPQ=90°；

（2）用面积的方法来证明，拼出的大正方形的面积，既可以用正方形面积公式求得，也可以用中间四个小三角形和小正方形的面积和来表示，列出相等关系，即可求证．